matematica : Manuales de Matemática 5to.

Binomio de Newton

Binomio de Newton

El teorema del binomio fue descubierto en el año 1665, fue notificado por primera vez en dos cartas que fueron enviadas por el funcionario y administrativo de la Royal Society, Henry Oldenburg en el año 1676. La primera carta tenía fue fechada el 13 de junio de 1676, en respuesta a un pedido del filósofo, jurista y matemático alemán Gottfried Wilhelm Von Leibniz, quien quería tener conocimiento de las labores e investigaciones de matemáticos británicos sobre series infinitas. Por lo cual Newton envía el enunciado de su teorema y un ejemplo ilustrativo. Leibniz responde, en una carta fechada el 17 de agosto de 1676, que se encuentra ante una técnica general que le permite obtener distintos resultados sobre las cuadraturas, las series, etc., y denomina algunas de sus ramificaciones por las investigaciones de Leibniz. Newton responde también con una carta en la que detalla cómo ha descubierto la serie de binomios .

Desarrolla Tu Binomio

vectores en el espacio

Vectores en el espacio

Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular
en el origen de coordenadas a los ejes X e Y.

Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z).

-->

Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ.
Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas
octantes,en el primer octante las tres coordenadas son positivas.

Vector en el espacio

Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto
y su extremo en el otro

Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto
y su extremo en el otro

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Teoria de Combinatoria

TeorÌa combinatoria
IntroducciÛn
La TeorÌa Combinatoria estudia las agrupaciones que pueden ser formadas cuando se toman todos, o algunos, de los elementos de un conjunto Önito. Los elementos del conjunto pueden ser de cualquier naturaleza: n˙meros, personas, empresas,
artÌculos producidos por una f·brica, etc. La TeorÌa Combinatoria estudia especialmente el n˙mero de agrupaciones que pueden ser obtenidas bajo alg˙n modo
de composiciÛn de los elementos. Para ello, distingue b·sicamente tres conceptos:
arreglos, permutaciones y combinaciones.
Para calcular probabilidades, muchas veces es necesario determinar la cantidad de
elementos de un conjunto dado (cardinal del conjunto), o la cantidad de elementos del
conjunto integrado por las agrupaciones que podemos realizar tomando algunos de
los elementos. A menudo, la tarea de contarlos uno a uno resulta tediosa. En cambio,
para poder contar resulta de mucha utilidad el llamado Principio Fundamental de
Conteo y los aportes realizados por la TeorÌa Combinatoria.
Principio Fundamental de Conteo
DeÖniciÛn 1 (Principio fundamental de conteo) Sea un proceso que involucra
k niveles, siendo n1; n2;n3;
:::; nk el n˙mero de resultados posibles de cada uno de ellos.
Entonces, el n˙mero total de resultados posibles de los k niveles es:
n1 n2 n3 ::: nk
Este principio es tambiÈn conocido como Regla de la MultiplicaciÛn.
Ejemplo 1 Una familia desea adquirir una vivienda en un balneario y se le presentan las siguientes posibilidades: casa o apartamento. A su vez, cada una puede ser
de 1, 2 o 3 dormitorios. øCu·ntos tipos posibles de vivienda tiene a disposiciÛn?
Como existen dos niveles, y se tienen 2 opciones para el primer nivel (casa o
apartamento) y 3 opciones para el segundo (n˙mero de dormitorios), se puede aplicar
el principio fundamental de conteo para obtener la respuesta: 2 3 = 6 tipos de
vivienda.
Este resultado puede ser visualizado claramente con la ayuda de un diagrama de
·rbol:
Arreglos
DeÖniciÛn 2 Dado un conjunto de n elementos, se deÖne como arreglo de n de
orden k (k n ) a cada k-upla ordenada que puede formarse tomando k elementos
diferentes entre los n dados.
Como una k-upla est· constituida por k elementos dispuestos en determinado
orden, dos arreglos ser·n diferentes, a˙n conteniendo los mismos elementos, si los
mismos se encuentran en distinto orden.
Al n˙mero de arreglos de n de orden k lo notaremos como An
k
. Para calcular
dicho n˙mero, es posible utilizar el principio fundamental de conteo. El primer lugar
de la k-upla puede estar ocupado por uno cualquiera de los n elementos, mientras
el segundo lugar puede estar ocupado por cualquiera de los elementos que no est·n
en el primer lugar, es decir por uno de los (n 1) elementos restantes, ya que los k
elementos deben ser diferentes. El tercer lugar puede estar ocupado por cualquiera
de los elementos que no est·n ni en el primer lugar ni en el segundo, es decir por
uno cualquiera de los (n 2) elementos restantes. Si se contin˙a el razonamiento,
para ocupar el k-Èsimo lugar se tendr·n (n k + 1) elementos posibles. Entonces,
el n˙mero de arreglos de n de orden k es:
A
n
k = n (n 1) (n 2):::(n k + 1)
Recordando la deÖniciÛn de factorial de un n˙mero natural:
n! = n (n 1) (n 2):::(1) 8n 2 N; n = 0 6
0! = 1
puede obtenerse otra fÛrmula para el c·lculo del n˙mero de arreglos:
A
n
k = n (n 1):::(n k + 1)
(n k) (n k 1):::(1)
(n k) (n k 1):::(1)
=
=
n!
(n k)!
ObsÈrvese que si de un conjunto de n elementos diferentes se extraen k sucesivamente sin reposiciÛn, e interesa el orden de extracciÛn, se tendr·n exactamente An
k
extracciones diferentes posibles.
Ejemplo 2 De una caja que contiene cuatro bolillas numeradas del 1 al 4 se extraen
sucesivamente 2 sin reposiciÛn. øCu·ntas extracciones diferentes pueden resultar si
se supone que interesa el orden de extracciÛn?
Las diferentes posibilidades son todos los arreglos de 4 de orden 2, es decir
todos los pares ordenados posibles: (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2),
(3,4), (4,1), (4,2), (4,3). Entonces, pueden resultar A4
2 = 4 (4 1) = 12 extracciones
posibles.